Matematica e democrazia

Una procedura elettorale è un metodo per aggregare le preferenze individuali di un insieme arbitrario di elettori in una scelta sociale.


TEOREMA DI MAY (1952) Nel caso con due opzioni, l'unica procedura imparziale e concorde è la regola di maggioranza assoluta.

Il teorema di May [2] fornisce un fondamento chiaro all’idea diffusa che la scelta tra due opzioni a maggioranza assoluta sia un criterio ragionevole e “democratico”.



Nel caso con m ≥ 3 opzioni, tuttavia, questa regola risulta troppo spesso incapace di designare un vincitore e quindi non può essere adottata a fondamento delle scelte sociali. Queste difficoltà furono dibattute per la prima volta negli anni appena precedenti la Rivoluzione Francese da Jean-Charles Borda (1733-1799) e dal marchese di Condorcet (1743-1794).
Tuttavia, possiamo esaminare se un’opportuna generalizzazione non emerga come risposta al nostro originario quesito. Nel lavoro di M. LiCalzi, Matematica ed esercizio della democrazia, vengono discusse quattro possibili generalizzazioni della regola della maggioranza assoluta e si mostra come nessuna di esse sia in grado di soddisfare le "ovvie" richieste di democrazia del sistema elettorale.



Nel 1951 Kenneth Arrow (premio Nobel per l’economia nel 1972) nella sua tesi di dottorato affrontò il problema da un punto di vista diverso: invece che analizzare e creare sistemi di voto, si propose di definire “che cosa è” un sistema di voto in modo assiomatico, e derivarne così le conseguenze logiche. Introdusse quindi una serie di assiomi abbastanza ragionevoli da essere accettati da tutti e dedusse da questi un teorema sorprendente, chiamato ora teorema dell’impossibilità di Arrow.

Le proprietà che furono ritenute ragionevoli da Arrow sono:
• Universalità;
• Unanimità;
• Democraticità (non-dittatura);
• Indipendenza dalle alternative irrilevanti.

Esistono sistemi di voto che soddisfano questi requisiti minimi? Sorprendentemente, Arrow dimostrò che se ci sono almeno due votanti e almeno tre opzioni tra cui scegliere non esiste una funzione di scelta sociale definita per preferenze razionali che soddisfi contemporaneamente gli assiomi di unanimità, democraticità e indipendenza dalle alternative irrilevanti.

Una introduzione a questo risultato si trova nel lavoro di D. Ferrario, Geometria e topologia della scelta sociale.

Infine, G. Occhetta ci ha messo a disposizione le note con gli esempi svolti a lezione.