La matematica del cuore

La nostra storia, che parla della ricerca matematica applicata al funzionamento del nostro cuore, inizia con una tragedia. George Ralph Mines fu uno dei primi medici a studiare gli effetti degli impulsi elettrici sul cuore. Una storia della sua breve, intensa vita e della sua misteriosa morte è stata scritta da L.J. Acierno e L.T. Worrell.

Ora la nostra storia continua studiando il funzionamento delle cellule nervose. Questo tipo di cellula funziona come un elaboratore di segnale: riceve un input, lo elabora e, se necessario, produce un impulso elettrico che diventa un nuovo segnale di input per altre cellule. Vi sono in rete numerosi documenti che ne spiegano il funzionamento: si veda ad esempio il filmato Action Potential, oppure questa animazione o quest'altra.

In tutti i casi, si osserva che il meccanismo di funzionamento della cellula richiede un delicato equilibrio nel movimento di vari tipi di ioni (molecole elettricamente cariche): soprattutto, calcio e potassio.
L'idea che l'informazione sia veicolata da queste successioni di potenziali di azione (treni di impulsi) è il risultato di un secolo di studi in neurofisiologia. In particolare, il funzionamento dettagliato dei potenziali di azione è il nucleo del modello di Hodgkin-Huxley.

1. I segnali sono trasmessi elettricamente. Questa parte della storia inizia con Galvani e Volta nella prima metà dell'800. Gli esperimenti (Matteucci, Du Bois-Reymond, von Helmholtz e Bernstein) studiano la propagazione elettrica nei nervi. Sorge la domanda: perché la propagazione di elettricità "animale" avviene a velocità così sostanzialmente più lente degli altri tipi di fenomeni elettrici?

2.  I nervi sono formati da cellule dette neuroni (Cajal, 1886).

3. Il segnale è trasmesso da un neurone ad un altro attraverso le sinapsi (Sherrington, 1897).

4. I potenziali di azione non sono graduali: vale la regola del "tutto o niente" (Adrian, 1926).

5. L'informazione rilevante è contenuta nella frequenza e nella disposizione temporale degli impulsi (Adrian, 1926; Hubel and Wiesel, 1962; Evarts, 1966): in presenza di un impulso importante, un neurone risponde incrementando la sua frequenza di emissione di impulsi elettrici.

6. I potenziali di azione sono descritti tramite il flusso di ioni attraverso la membrana cellulare (considerata come un mezzo eccitabile).

i) La membrana cellulare è un mezzo elettricamente eccitabile (Bernstein, 1902; si basa su lavori di Nernst, 1888).

ii) I canali ionici regolano il flusso di ioni attraverso la membrana (Cole and Curtis, 1939).

iii) Ioni sodio e ioni potassio sono coinvolti nella generazione dei potenziali d'azione (Hodgkin and Katz, 1949).

iv) Hodgkin e Huxley (1952): la generazione dei potenziali d'azione può essere descritta quantitativamente usando le relazioni tra potenziale, corrente e capacità della membrana, vista come circuito elettrico, e la conducibilità dei diversi ioni, che dipende dal potenziale elettrico.

Per una introduzione storica al modello di Hodgkin e Huxley si può vedere il testo di M.Nelson e J. Rinzel. Il modello matematico è descritto da W. Gerstner. Un simulatore del modello di Hodgkin e Huxley è fornito nel

sito http://thevirtualheart.org/HHindex.html.

Il programma risolve le quattro equazioni simultaneamente e permette di visualizzare non solo l’andamento del potenziale elettrico ma anche delle concentrazioni degli ioni. Vi sono anche numerosi parametri che possono essere modificati.

Possiamo osservare, modificando il tempo S2 del secondo impulso, il fenomeno di refrattarietà: un neurone ha un periodo transitorio, dopo avere emesso un impulso, durante il quale non può produrre nuovi impulsi neanche in presenza di un nuovo stimolo.